En la
revista Scientific American217 (pág.
50-56, 1967), el biólogo y matemático ruso Anatol
Rapoport (1911- ), experto en teoría de la comunicación
y de juegos, escribe en el artículo titulado Escape
from paradox:
Paradoxes
have played a dramatic part in intellectual
history, often foreshadowing revolutionary
developments in science, mathematics, and logic.
Whenever, in any discipline, we discover a problem
that cannot be solved within the conceptual
framework that supposedly should apply, we
experience shock. The shock may compel us to
discard the old framework and adopt a new one. It
is to this process of intellectual molting that we
owe the birth of many of the major ideas in
mathematics and
science.
En
este texto se dan algunos ejemplos de cómo las paradojas
aparecen tanto en el ámbito de la ciencia como del arte.
La lista no es exhaustiva, es tan sólo una pequeña (y
parcial) muestra, que pretende estimular la curiosidad
del lector.
El
texto está organizado en once apartados, dedicado cada
uno de ellos a un tipo diferente de paradoja. Se incluye
también una extensa bibliografía (aunque no completa), y
en cada una de las secciones indicadas se dan diversos
enlaces que pretenden poder continuar la lectura
iniciada.
Si un
pequeño porcentaje de los billones de estrellas
en la galaxia fueran el hogar de civilizaciones con
tecnología avanzada, capaces de colonizar a distancias
interestelares, la galaxia completa estaría
completamente invadida en unos pocos millones de
años. La ausencia de tales civilizaciones
extraterrestres visitando la tierra es la paradoja de
Fermi.
¿Pero,
dónde están?
Existen dos
corrientes principales en la visión de la
vida:
la de los
copernicanos, que afirman que la
tierra es un planeta cualquiera alrededor de
una estrella cualquiera de la galaxia, la vida es un
fenómeno corriente y lleva algún día a la
aparición de civilizaciones con tecnología;
la de los
geocentristas,
que proponen que el lugar del Hombre es la
conquista de una galaxia vacía de
civilizaciones.
Los
geocentristas se han equivocado tanto a lo largo
de la historia, que vamos optar por la primera de la
opciones.
Existe una
fórmula debida al astrónomo Frank
Drake (1930- ) que permite estimar el número de
civilizaciones inteligentes con tecnología avanzada,
susceptibles de estar presentes en nuestra galaxia. Está
basada en conocimientos que van desde la astrofísica
hasta la biología, y es el producto:
N =
Ex
PxFxVxIxCxL,
donde:
E es el
número de estrellas en nuestra galaxia: unas
400.000.000.000.
P es el
número medio de planetas alrededor de las estrellas:
valor estimado
entre 5 y 20. Los científicos
piensan que los planetas se forman corrientemente
alrededor de las estrellas, a pesar de las
dificultades teóricas que se tienen aún para modelizar
estos procesos. Además, el número de exo-planetas no
cesa de crecer de año en año, por lo que los pequeños
planetas aún no detectables serán probablemente más
numerosos.
F es el
porcentaje de planetas favorables a la vida:valor estimado entre
el 20 y el 50%.Juega a
favor el hecho de que el agua es una molécula muy
abundante y en contra el que la zona habitable
en un sistema varía en función de numerosos
parámetros, no siempre muy estables.
V es la
probabilidad de aparición de la vida: valor estimado entre el
20 y el 50%. Los
bioquímicos estiman que la vida es un fenómeno muy
común una vez que las circunstancias son
favorables, aunque muchas catástrofes pueden matar una
vida frágil y naciente.
I es la
probabilidad de emergencia de seres inteligentes:
valor estimado
entre el 20 y el 50%.
A favor de esta cantidad está la evolución
biológica y en contra el factor tiempo.
C es la
probabilidad de aparición de una civilización
tecnológica con capacidad de comunicación: valor estimado entre el
20 y el 50%. La
información es sinónimo de desarrollo, pero ¿todas las
civilizaciones experimentan la necesidad de
comunicarse con otros seres en el cosmos?
L es la
duración de la vida de una civilización avanzada:
valor estimado
entre 100 y 10.000.000 años.¿Dispone una civilización de los medios
tecnológicos necesarios para un contacto
extraterrestre durante un breve instante antes de
autodestruirse?
Por ejemplo,
usando esta fórmula, el número de civilizaciones
con 400.000.000.000 estrellas, 10 planetas alrededor de
cada estrella, 50% de planetas favorables a la vida, 50%
de probabilidad de vida, 50% de probabilidad de vida
inteligente, 50% de probabilidad de civilización técnica
y 10.000.000 años de duración de una civilización sería
de 250.000.000.000.
El factor
preponderante en la ecuación de Drake es el tiempo; es decir, la
fórmula tiene una gran dependencia del factor L, que impone que:
si las
civilizaciones tecnológicas viven un breve
instante de tiempo antes de autodestruirse,
entonces el número de civilizaciones en el universo es
cercano a... 1;
al
contrario, si la duración de la vida de estas
civilizaciones se cuenta en millones de
años, entonces el universo debería estar
invadido por mensajes de radio.
Para
L = 10.000 años (¿modelo
terrestre?) existirían según esta fórmula
unas 10.000 civilizaciones, y si estuvieran repartidas
de manera aleatoria por las estrellas de la galaxia, la
más cercana a nosotros estaría a 1.000 años-luz.
Nuestras emisiones de radio comenzaron hace unos 50
años, por lo que aún estaríamos a muchos años de
ser encontrados (y estudiados).
Desde sus
orígenes, la matemática ha chocado con el infinito como
un problema crucial.
La escuela
eleática de filósofos fue fundada por el pensador,
filósofo y poeta Xenófanes (nacido en 570 AC) y su
principal enseñanza era que el universo es singular,
eterno e incambiable: El todo es
uno. De acuerdo con esta idea, las
apariencias de multiplicidad, cambio, y moción son meras
ilusiones.
Las
paradojas de Zenón son el foco en la relación de lo
discreto con lo continuo. Ninguno de sus escritos ha
sobrevivido; se conocen sus ideas a través de los
trabajos de Platón, Aristóteles, Simplicio y Proclus. De
los aproximadamente 40 argumentos atribuidos a Zenón,
destacamos dos relacionados con la moción: Aquiles y la tortuga y
La flecha.
2.1.
Aquiles y la tortuga (Aristóteles,
Physics 239b, 15-18)
Se arregla
una carrera entre Aquiles y la tortuga. Como Aquiles es
mucho
más veloz que la tortuga, el héroe permite una cierta
ventaja allentísimo animal. La paradoja que
surge es que Aquiles no puede nunca alcanzar a la
tortuga, independientemente de lo rápido que corra y de
lo larga que sea la carrera: en efecto, cada vez que el
perseguidor alcanza un lugar donde ha estado la
perseguida, la tortuga se adelanta un poco…
Algo debe
ser falso en este argumento… la paradoja aparece debido
a la noción equivocada de que cualquier sucesión
infinita de intervalos de tiempo debe sumar toda la
eternidad. La solución pasa por la convergencia de la
serie
1/2 + 1/4
+ 1/8 +…+ 1/2n +… =
1.
2.2.
La flecha (Aristóteles,
Physics 239b, 5-7)
Supongamos
un argumento de Zenón del tipo:
un
intervalo de tiempo se compone de instantes (que
son la menor medida e indivisibles),
en cada
instante, una flecha no se mueve.
Si se
observa el trayecto de una flecha en un período de
tiempo infinitamente corto, el movimiento
correspondiente a cada observación es nulo. La suma de
todos estos ceros da aún cero, por lo tanto ¡la flecha ha estado siempre
inmóvil!
La solución
consiste en aceptar que la flecha está en reposo en cada
instante, pero rechazar que esto implique que la flecha
no se mueve: lo que se requiere para que la flecha se
mueva, es que esté en diferentes sitios en momentos
cercanos. Un instante no es suficientemente grande para
que tenga lugar el movimiento: este último es una
relación entre objetos, lugares y varios
instantes. Esta paradoja es un ejemplo de una
conclusión inaceptable (nada se mueve) a
partir de una premisa aceptable (ningún movimiento ocurre durante un
instante), por un razonamiento
inaceptable (estar en
reposo significa que la flecha está en el mismo lugar en
instantes cercanos).
Dos
conjuntos infinitos son equipotentes(tienen el mismo
número
cardinal), si existe una biyección del
uno sobre el otro. El cardinal deun
conjunto infinito es la extensión al caso de los
conjuntos infinitos del concepto de número, y la
equipotencia es la extensión de la nociónde
igualdad. No todos los conjuntos infinitos son
de igual tamaño, como afirma el siguiente
resultado:
Teorema
de Cantor: Dado un
conjunto C, existe otro de mayor cardinalidad,
(C) (el conjunto de sus
partes).
Bertrand
Russell (1872-1970), Premio Nobel de Literatura en 1930
y Medalla Fields en 1966, descubre una contradicción al
considerar el teorema de Cantor:
el
conjunto de todas las cosas U debe tener mayor cardinal
que cualquier otro, porque todo elemento de un conjunto
(y todo conjunto) es una cosa. Así,
(U) debe de estar contenido en U, en
cuyo caso
card(
(U)) ≤ card(U) < card(
(U)) ,
y
así el resultado cantoriano debía ser
erróneo.
Existía en
aquella época un postulado (surgido de la lógica
tradicional aristotélica) que se venía implícitamente
tomando como base para la teoría de conjuntos, llamado
principio de
comprensión, que afirma que
dada una propiedad P,
existe siempre un conjunto{x:
P(x)}que la
cumple. Lo que hace Russell es refutarlo, tomando
como proposición
P(x) = (x
x),
y deduciendo
una contradicción: así, se invalida la llamada
teoríaingenua
de conjuntos.
Algunas
propuestas de solución de esta paradoja han
sido:
la
complicada y filosófica teoría de tipos de
Russell que afirma que deben arreglarse todas las
sentencias en una jerarquía: es entonces posible
referirse a todos los objetos para los que un
determinado predicado es cierto sólo si están ambos en
el mismo nivel o son del mismo tipo. Así, una
expresión de la forma(x
x)no se
considera como válida;
la
elegante axiomatización de la teoría de
conjuntosde Ernst Zermelo, que
elimina el principio de comprensión e incluye de
manera destacada el llamado axioma de
elección: se admiten en la teoría sólo
aquellas clases de las que no pueden derivarse
contradicciones. Su sistema de axiomas contenía
conceptos y relaciones fundamentales que estaban
definidas implícitamente por las afirmaciones de los
axiomas mismos. La fundamentación de la teoría de
conjuntos de Zermelo fue mejorada por Abraham Fraenkel
y Von Neumann introdujo cambios adicionales.
La banda de Möbius se obtiene al
identificar dos de los lados opuestos de un cuadrado,
girando previamente uno de ellos, como se muestra en el
dibujo de Tim Hunkin.
Es una
superficie (variedad de dimensión dos) con
una única cara, un solo
borde y no orientable. Estos hechos son ya
paradójicos al fijarse en un cilindro, obtenido al
identificar dos de los lados opuestos de un cuadrado: es
una superficie con dos caras,
dos bordes y
orientable.
Se pueden
realizar algunas experiencias con la banda de Möbius que
dan resultados paradójicos:
si se
corta la banda por su mitad, como muestra la figura de
arriba, aparece una cinta el doble de larga, que
contiene cuatro semivueltas, dos caras y dos bordes,
luego no es una banda de Möbius, sino un
cilindro;
si se
corta la banda de Möbius a la altura 1/3, se obtiene
otra banda de Möbius (igual de larga y 1/3 de ancha) y
un cilindro (el doble de largo y 1/3 de ancho)
enlazados: la altura 1/2 es la única
especial.
La banda de
Möbius ha inspirado a artistas y científicos, como
muestran los ejemplos que siguen.
Una variante
de la banda de Möbius es este juego de niños diseñado
por Gerald Harnett: el Möbius Climber Lands
consiste en 64 triángulos enlazados y montados de manera
que, en cada punto, se observa la estructura torcida.
Está situado en el Sugar Sand Science Playground,
parque de la ciencia situado en Boca Ratón
(Florida), y fue creado con ayuda del programa
Mathematica.
4.2. La
botella de Klein
La botella de Kleines una superficie obtenida al
identificar los lados de un cuadrado como muestra la
figura:
Esta
figura no puede construirse en el espacio de dimensión
tres sin autointersecarse, pero sí que está contenida en
el espacio de dimensión cuatro.
La botella de Klein presenta varias
propiedades paradójicas: posee un solo
lado (no tiene cara interior ni cara exterior) y
no tiene borde: de hecho, puede obtenerse
esta superficie a partir de dos bandas de Möbius, y por
ello hereda sus extrañas
propiedades.
La botella
de Klein ha servido de modelo para muchas construcciones
extraordinarias, como muestran las imágenes que aparecen
a continuación.
Debajo
aparecen algunas botellas de Klein de Cliff Stoll de la
Acme Klein Bottle.
Sobre
la autora
Marta
Macho Stadler es
Doctora en Matemáticas por l’Université Claude
Bernard de Lyon (Francia). Desde el año 1985 es
profesora en el Departamento de Matemáticas de la
Universidad del País Vasco/Euskal Herriko
Unibertsitatea (UPV/EHU). Su tema de investigación
se centra en la teoría de foliaciones. Ha
impartido varias conferencias de divulgación en
ciclos celebrados en varias universidades del
estado y es coorganizadora de Un paseo por la
geometría en la UPV/EHU. Miembro de las
Comisiones de Cooperación Internacional y de
Mujeres y Matemáticas de la RSME, es secretaria de
la Comisión de Desarrollo y Cooperación del Comité
Español de Matemáticas, y pertenece a los Comités
Editoriales de las revistas digitales
Matematicalia e IMAGEN-A.
(*)Este artículo
está motivado por la conferencia del mismo título
impartida por su autora en el Curso Interuniversitario
Sociedad, Ciencia, Tecnología y Matemáticas 2005
de las Universidades de La Laguna y Las Palmas de Gran
Canaria (Canarias,
España).
